| Referate | Director web | Adauga link | Contact |

Titlu referat: Triunghiul lui Pascal

Nivel referat: liceu

Descriere referat:
GRUPUL ŞCOLAR DE CHIMIE
INDUSTRIALĂ
TG. MUREŞ
TRIUNGHIUL LUI
PASCAL
PROF. RUSU-MARIAN
CRISTINA
TG. MUREŞ
2001
Numerele din figura (1) sunt coeficienţii binomiali, iar dispunerea
lor sub formă de tabel triunghiular se numeşte triunghiul lui Pascal. Însuşi Pascal
numea acest triunghi  aritmetic.
Fig. (1)
La triunghiul din figura (1) pot fi adăugate
noi linii, el poate fi extins oricât de mult.
       Reţeaua din figura (2) este de fapt, o porţiune pătrată
“tăiată” dintr-un triunghi mai mare.
       
Figura (2)
Unii dintre coeficienţii binomiali şi
descompunerea lor într-un tabel triunghiular apar şi în scrierile altor
autori, anterioare lucrării lui Pascal. Meritele lui Pascal în această
descoperire sunt suficiente pentru a justifica
utilizarea numelui lui.
În primul rând trebuie să introducem o
notaţie pentru numerele conţinute în triunghiul lui Pascal. Pentru noi
fiecare număr asociat unui punct din acest triunghi are o semnificaţie
geometrică: el indică numărul de trasee distincte, în zigzag, de lungime
minimă, de la vârful triunghiului până la punctul respectiv. Fiecare din
aceste trasee trece de-a lungul unui aceluiaşi număr de cvartale – să spunem de-a lungul a
n cvartale. Mai mult, toate
aceste trasee concordă între ele şi în ceea ce priveşte numărul de
cvartale străbătute mergând spre sud-vest şi numărul de cvartale
străbătute mergând spre sud-est.
Fie l şi respectiv r aceste numere (l –înseamnă deplasări spre stânga, r – înseamnă deplasări spre dreapta,
bineînţeles în fiecare caz direcţia generală este de sus în
jos).
Evident: n=l+r.
Dacă notăm două din cele trei numere
n, l şi r, al treilea este complet determinat,
şi tot aşa este şi punctul la care ele se referă.
Vom nota cu Crn (combinări de n luate câte r)
numărul de trasee minime de la vârful triunghiului lui Pascal până la
punctul specificat de numărul n (numărul total de cvartete) şi numărul r (cvartetele străbătute mergând spre
dreapta).
De exemplu în figura (3): C38=56; C510=252. Simbolurile pentru numerele din
figura (1), au fost grupate în mod corespunzător
în figura (3).
Simbolurile cu acelaşi număr “inferior
n” se aliniază pe
orizontală în lungul “bazei” de ordinul n,
este vorba de baza unui triunghi
dreptunghic.
Simbolurile cu acelaşi număr “superior
r” se aliniază oblic în lungul “bulevardului” cu numărul
r.
Figura (3)
În al doilea rând pe lângă aspectul
geometric, triunghiul lui Pascal prezintă şi un aspect legat de proprietăţi
numerice şi de calcul. Toate numerele de-a lungul frontierelor (strada zero,
bulevardul zero şi punctul lor comun de plecare) sunt egale cu 1.
Prin urmare: C0n=Cnn=1.
Această relaţie se numeşte condiţia la limită a triunghiului
lui Pascal.
Orice număr din interiorul triunghiului lui
Pascal este situat pe un anumit rând orizontal, sau  pe o anumită
“bază”. Un număr oarecare de pe baza (n+1) se calculează “mergând
înapoi” sau “recurgând” la cele două numere vecine de pe baza
n:
Crn+1=Crn+Cr-1n.
Această formulă se numeşte formula de recurenţă a triunghiului
lui Pascal.
       Din punctul de vedere al
proprietăţilor de calcul, numerele Crn sunt
determinate de formula de recurenţă şi de condiţia la limită a
triunghiului lui Pascal.
Când calculăm un număr din triunghiul lui
Pascal folosind formula de recurenţă, trebuie să ne bazăm pe cunoaşterea
prealabilă a două numere de pe baza “precedentă”. Există însă o
schemă de calcul care este independentă de cunoştinţele prealabile şi o
vom numi formula explicită a coeficienţilor
binomiali:
       
Tratatul lui Pascal conţine formula
explicită, Pascal nu spune însă cum a descoperit-o dar în schimb dă o
demonstraţie cu totul remarcabilă a formulei explicite. În demonstraţie
Pascal utilizează două leme, în prima lemă arată că formula explicită
este valabilă şi pentru prima linie iar în cea de-a doua lemă arată că
dacă formula este valabilă pentru o bază oarecare n, atunci ea este valabilă şi pentru
baza imediat următoare (n+1).
Pascal spunea: “Vedem  deci că
propoziţia este, în mod necesar, valabilă pentru toate valorile lui
n. Căci ea este
valabilă pentru n=1, în virtutea primei leme, prin urmare ea este valabilă
şi pentru n=2, în virtutea lemei a doua; prin urmare ea este valabilă şi
pentru n=3, în virtutea aceleiaşi leme şi aşa mai departe, ad infinitum.”
Cuvintele lui Pascal citate aici au o
importanţă istorică, fiindcă demonstraţia dată de el constituie primul
exemplu de aplicare a unei scheme fundamentale de raţionament, care se
numeşte în mod obişnuit: inducţie
matematică.
Până acum am dat trei moduri distincte de
abordare a numerelor din triunghiul lui Pascal:
interpretarea geometrică (un
coeficient binomial este numărul de drumuri distincte minime, între două
noduri ale unei reţele de străzi);
abordarea formală
(adică exclusiv prin calcul, coeficienţii binomiali pot fi definiţi prin
formula lor de recurenţă şi prin condiţia la limită);
formula explicită;
Denumirea numerelor ne mai aminteşte o
cale:
teorema binomului:
Pentru orice x
(fix sau variabil) şi pentru orice întreg
nenegativ n, are loc
egalitatea:
Există şi alte moduri de a aborda numerele
din triunghiul lui Pascal, numere ce joacă un rol important în foarte multe
probleme interesante şi se bucură de foarte multe proprietăţi
interesante.
“Acest tabel de numere are proprietăţi
eminente şi admirabile” spunea Jaques Bernoulli, “în el stă esenţa
combinatoricii, iar cei familiarizaţi cu geometria ştiu că în el sunt
ascunse secrete capitale din toată matematica”.
Bibliografie:
“Descoperirea în matematică” Gheorghe
Polya, Editura Ştiinţifică Bucureşti 1971
Anexa 1
Anexa
2
Anexa
3



Curs valutar
Euro4,5511
Dolarul american4,2615
Lira Sterlina5,3015
Gramul de aur170,1555
Leul moldovenesc0,2176
Materii referate

Anatomie (61)

Astronomie (61)

Biologie (546)

Chimie (530)

Contabilitate (87)

Design (4)

Diverse (878)

Drept (356)

Ecologie (59)

Economie (520)

Educatie Fizica (2)

Educatie si Invatanmant (2)

Engleza (463)

Filosofie (99)

Fizica (343)

Franceza (25)

Geografie (838)

Germana (40)

Informatica (354)

Istorie (1169)

Italiana (21)

Latina (26)

Literatura (22)

Logica (6)

Management (133)

Marketing (118)

Matematica (114)

Mecanica (13)

Medicina si Farmacie (229)

Muzica (35)

Psihologie (337)

Religie (248)

Romana (2303)

Spaniola (31)

Statistica (17)

Stiinte politice (27)

Turism (64)

Nota explicativa

Informatiile oferite de acuz.net au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica. Va recomandam utilizarea acestora doar ca sursa de inspiratie sau ca resurse educationale.