| Referate | Director web | Adauga link | Contact |

Titlu referat: Operatii cu matrici

Nivel referat: liceu

Descriere referat:
Matrici
(Operatii cu matrici
, Inversa unei matrici , Ecuatii matriceale)
1.1. Despre matrici
Acest concept l-am întalnit înca din primul
an de liceu, atunci când s-a pus problema rexolvarii unui sistem de două
ecuaţii cu două necunoscute x, y, de forma
.
Acestui sistem i-am asociat un teblou
pătratic, care conţine coeficienţii necunoscutelor (în prima linie sunt
coeficienţii lui x,
y din prima ecuaţie, iar
in a doua linie figurează coeficienţii lui x, y din ecuaţia a doua): .
Am numit acest tablou matrice pătratică
(sau matricea sistemului). Pe cele două coloane ale matricei figurează
coeficienţii lui x (pe
prima coloană a,) şi respectiv coeficienţii lui y (pe a doua coloană b, ).
Definiţie. Se
numeşte matrice cu m
linii şi n coloane (sau de tip ) un
tablou cu m linii şi
n coloane
                   
   
ale cărui elemente sunt numere
complexe.
       Uneori această matrice se notează şi
undeşi. Pentru elementul
, indicele i arată linia pe care se află
elementul, iar al doilea indice j indică pe ce coloană este situat.
       Mulţimea matricilor de tip cu elemente numere reale se notează prin .
Aceleaşi semnificaţii au şi mulţimile ,,.
       
       Cazuri particulare
1) O matrice de
tipul (deci cu o linie şi n coloane) se numeşte matrice linie şi are forma
                   
           .
2) O matrice de
tipul (cu m linii şi o coloană) se numeşte
matrice coloană şi are
forma
                   
           .
3) O matrice de
tipse numeşte nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt
zero. Se notează cu O
                   
           .
4) Dacă numărul
de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numeşte
pătratică.
                   
           .
       Sistemul de elemente reprezintă
diagonala principală a
matricii A, iar suma acestor
elemente se numeşte urma matricii A notată Tr(A). Sistemul de elemente
reprezintă diagonala secundară a matricii
A.
       Mulţimea acestor matrici se notează.
Printre aceste matrici una este foarte importantă aceasta fiind
                   
           
şi se numeşte matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în
rest sunt egale cu 0).
       
       Operaţii cu matrici    
   
Egalitatea a două matrici
       Definiţie.
Fie,. Spunem că
matricile A, B sunt egale
şi scriem A =
B dacă =,
,.
       Exemplu: Să se determine numerele reale
x, y astfel încăt să avem egalitatea de matrici
                   
   .
R. Matricile sunt
egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale, adică:
        Rezolvând acest sistem
găsim soluţia x = 1,
y = -3.
        Adunarea matricilor
       Definiţie.
Fie,,. Matricea C se numeşte suma matricilor A, B dacă:           
           
 =+,
,.
       
Observaţii
1) Două matrici se
pot aduna dacă sunt de acelaşi tip, adică dacă au acelaşi număr de linii şi acelaşi număr de
coloane, deci A,
B .
2) Explicit adunarea
matricilor A, B înseamnă:
+=.
       Exemplu: Să se calculeze A + B pentru:
       1. ;
       2.
R.   1.  Avem
       
2. Avem
.
       Proprietăţi ale adunării matricilor
(Asociativitatea adunării). Adunarea
matricilor este asociativă, adică:
               , A, B, C .
(Comutativitatea adunării). Adunarea
matricilor este comutativă, adică:
                   
   , A, B.
(Element
neutru). Adunarea matricilor admite matricea nulă ca
element neutru, adică
astfel
încât             
A += A, A.
        (Elemente opuse). Orice matrice A are un opus,
notat, astfel încât
                   
                   .
       Înmulţirea cu scalari a
matricilor
       Definiţie.Fie
C şi A
=. Se numeşte produsul dintre scalarul C şi
matricea A, matricea
notată definită prin
=.
Obs.: A înmulţi o
matrice cu un scalar revine la a înmulţi toate elementele matricii cu
acest scalar.
       Deci =.
       Exemplu Fie .
Atunci 6A = .
               
       Proprietăţi ale înmulţirii matricilor cu scalari
        , C, A;
       ,C, A, B;
,C, A;
               ,1C, A;
       
Înmulţirea matricilor
       Definiţie. Fie
A =, B =. Produsul
dintre matricile A şi
B (în aceasta ordine), notat AB este matricea C = definită prin
                   
           , ,.
       Observaţii
1) Produsul
AB a două matrici nu se
poate efectua întotdeauna decât dacă A, B, adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui
B, când se obţine o
matrice C = AB.
2) Dacă matricile
sunt pătratice A, B atunci are sens întotdeauna
atât AB cât şi
BA, iar, în general,
ABBA
adică înmulţirea matricilor nu este
comutativă.
               Proprietăţi
ale înmulţirii matricilor
        (Asociativitatea înmulţirii). Înmulţirea matricilor este
asociativă, adică
                   
   ,A,B,C.
        (Distributivitatea înmulţirii în
raport cu adunarea). Înmulţirea matricilor este distributivă în raport cu
adunarea matricilor, adică
                   
    A, B,
C matrici pentru care au
sens operaţiile de adunare şi înmulţire.
        Dacă este matricea unitate, atunci
                   
    A.
Se spune că este
element neutru în raport
cu operaţia de înmulţire a matricilor.
       Puterile unei matrici
       Definiţie. Fie
A. Atunci, , , …, , n. (Convenim ).
INVERSA UNEI MATRICI
               Definiţie. Fie
A. Matricea A se numeşte inversabilă dacă există matricea
B cu proprietatea că , fiind matricea unitate.
       Matricea B din
definiţie se numeşte inversa matricii A şi se notează . Deci
                   
           .
       Teoremă.   Matricea
A este inversabilă dacă şi numai dacă
O astfel de matrice se numeşte nesingulară.
       Construcţia lui presupune următorii
paşi:
Pasul 1. (Construcţia transpusei)
Dacă ,
atunci construim transpusa lui A .
Pasul 2. (Construcţia adjunctei)
       Matricea
obţinută din , inlocuin
fiecare element cu complementul său algebric se numeşte adjuncta matricii A.
Pasul 3. (Construcţia inversei) Se ţine cont de teorema precedentă şi se găseşte
că:
       iar de aici
       Ultimele egalităţi arată că
       Ecuaţii matriciale
       Voi prezenta în continuare o tehnică de rezolvare a unor
ecuaţii de forma , , , unde
A, B, C sunt matrici cunoscute, iar
X este matricea de aflat.
Astfel de ecuaţii se numesc ecuaţii
matriciale.
       Astfel de ecuaţii se pot rezolva numai atunci când A, B sunt matrici
pătratice inversabile.
       
Pentru rezolvarea ecuaţiei înmulţim la stânga egalitatea cu
şi avem:
               .
Deci soluţia ecuaţiei date este .
       Pentru determinarea soluţiei ecuaţiei vom
înmulţi la dreapta cu şi analog vom
găsi , soluţia ecuaţiei
matriciale.
       Pentru găsirea soluţiei ecuaţiei înmulţim
egalitatea la stanga cu şi la dreapta cu şi
obţinem .
                                                  
APLICAŢII
Aflati x ,y stiind ca are loc
egalitatea:
       
       1)
       
       2)
       
       3)
       
                   
                       
                       
                       
   
dacă , atunci
dacă , atunci
       4)
   1. Să se calculeze în
cazurile:
       1) , .
               
       
       2) ,
               
               2. Se consideră matricile
       , , .
Să se determine m, n, p astfel încât .
       .  
                   
   Deci
       1. Se consideră matricile .
       , .
Să se calculeze: ,
.
1. Calculaţi
produsele de matrici , unde
       a) şi
               
       
       b) şi
               
       
       c) şi    
       
         
       
       d)
şi
                   
   
       e)
şi
       
       2. Să se calculeze ,
dacă:
       ;
               
       3.  Fie . Să
se calculeze , .
       
       
       
       Inducţie matematică
               
                     
  (A)
     
 Deci
.
2.
          
1. Să se determine
matricea X din
ecuaţia
               
       
       
       
               2. a) Găsiţi matricea X astfel încât
       
                   b) Să se determine m astfel încât sistemul următor să fie
compatibil şi apoi rezolvaţi-l:
       
       a) 
       
               Deci
.
       b)
                   
          
               3. a) Fie matricea A; , . Să
se calculeze şi şi apoi să se
determine, în funcţie de
n.
                 
         b) Să se
afle numere reale astfel încât
                   
   
       
       a)
          
       
       Inducţie matematică
               
          (A)
               Deci
.
       b)
...



Curs valutar
Euro4,5511
Dolarul american4,2615
Lira Sterlina5,3015
Gramul de aur170,1555
Leul moldovenesc0,2176
Materii referate

Anatomie (61)

Astronomie (61)

Biologie (546)

Chimie (530)

Contabilitate (87)

Design (4)

Diverse (878)

Drept (356)

Ecologie (59)

Economie (520)

Educatie Fizica (2)

Educatie si Invatanmant (2)

Engleza (463)

Filosofie (99)

Fizica (343)

Franceza (25)

Geografie (838)

Germana (40)

Informatica (354)

Istorie (1169)

Italiana (21)

Latina (26)

Literatura (22)

Logica (6)

Management (133)

Marketing (118)

Matematica (114)

Mecanica (13)

Medicina si Farmacie (229)

Muzica (35)

Psihologie (337)

Religie (248)

Romana (2303)

Spaniola (31)

Statistica (17)

Stiinte politice (27)

Turism (64)

Nota explicativa

Informatiile oferite de acuz.net au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica. Va recomandam utilizarea acestora doar ca sursa de inspiratie sau ca resurse educationale.