| Referate | Director web | Adauga link | Contact |

Titlu referat: Functii

Nivel referat: liceu

Descriere referat:
Functii
CUPRINS
                   
                       
                       
                
Pag.
Capitolul 1. Noţiuni generale despre
funcţii
                   
                       
                       
   
Noţiunea de funcţie
……………………………………………… 2
Graficul unei funcţii
………………………………………………5
Paritatea funcţiilor
……………………………………………….. 5
Monotonia funcţiilor
……………………………….……………..
6
Valori extreme ale unei funcţii. 
Funcţie mărginită ……………….7
Bijectivitate
………………………………………………………. 9
Inversabilitate
……………………………………………………..9
Operaţii cu funcţii
………………………………………………. 10
Compunerea funcţiilor
…………………………………………... 11
Capitolul 2. 
Funcţii particulare
Funcţia de gradul I
……………………………………………… 13
Funcţia de gradul al doilea
……………………………………… 14
Alte funcţii numerice
…………………………………………… 15
Funcţia exponenţială
……………………………………………. 17
Funcţia logaritmică
……………………………………………... 18
Funcţia trigonometrică directă
………………………………….. 19
Funcţia trigonometrică inversă
………………………………….. 21
FUNCŢII
       DEFINIŢIE.  NOTAŢIE.
Mulţimea A se numeşte domeniul de definiţie a funcţiei
ƒ.
            B se numeşte mulţimea în care funcţia ia valori sau codomeniul funcţiei ƒ.
Dacă ƒ este o funcţie de la A la B,
atunci se mai spune că ƒ este o aplicaţie de la A la B.
De obicei funcţiile se notează cu litere
mici ƒ, g, h,

Mulţimea funcţiilor de la A la B se
notează cu F (A,
B).  
               MODURI
DE A DEFINI O FUNCŢIE.
       Indiferent de modul în care este definită o funcţie trebuie
precizate cele trei elemente care o caracterizează:  domeniul de definiţie, codomeniul şi legea de
corespondenţă.
1.  FUNCŢII DEFINITE
SINTETIC  corespund acelor funcţii f : A→ B pentru care se indică
fiecărui element x din A elementul y = f (x) din B.
Acest lucru se poate face fie cu ajutorul
diagramei cu săgeţi, fie
cu ajutorul tabelului de valori sau printr-un
tablou.
Acest mod de a defini o funcţie se
utilizează când A este o mulţime finită.
EXEMPLE.  1)  Fie f :
{1, 2, 3} →
{a,b}  definită prin f
(1) = f (2) = a,
f (3) = b.
În diagrama cu săgeţi sunt reprezentate
mulţimile prin diagrame, iar legea de corespondenţă
                 
           
 prin săgeţi.
       A            
B                Faptul că
fiecărui element x din A îi corespunde un unic
Element y = f (x) din B înseamnă pentru diagrama
cu săgeţi că           din
fiecare element din A pleacă o singură săgeată.
Cum pentru elementele codomeniului nu avem
nici o
exigenţă                                                                                                         
înseamnă că într-un astfel de element pot ajunge una, mai
multe         săgeţi sau
niciuna.
Aceeaşi funcţie o putem defini utilizănd
tabelul de valori.
Acesta este format din două linii.  În
prima linie se trec elemetele mulţimii pe care este definită funcţia, iar
în a doua linie valorile funcţiei în aceste elemente.
Pentru cazul analizat tabelul arată
astfel:
               x            
   1    
   2    
   3
                                        
        y =
f (x)            
   a    
   a    
   b
2)  Funcţia ƒ : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} definită prin
ƒ(1) = 3, ƒ(2) = 1, ƒ(3) = 4, ƒ(4) = 2 poate fi reprezentată sub
forma unui tablou unde în rpima linie avem domeniul de definiţie,
                                                                              
                        
1    2    3   
4                         
               ƒ  =
                        
3    1    4    2
iar în linia a doua sunt valorile funcţiei
în punctele domeniului (3 este valoarea lui ƒ în x = 1, 1 este valoarea lui
ƒ în x = 2,
etc.).  O astfel de funcţie se numeşte
permutare de gradul patru.
OBSERVAŢIE. 
Nu putem defini sintetic o funcţie al cărui domeniu de definiţie are o
infinitate de elemente.
2.  FUNCŢII DEFINITE
ANALITIC.  Funcţiile ƒ : A→ B definite cu ajutorul unei (unor)
formule sau a unor proprietăţi sunt funcţii
definite analitic.  Corespondenţa ƒ leagă între ele elementul
arbitrar x din A de imaginea sa ƒ(x).
EXEMPLE. 
1)  Fie funcţia ƒ
: R → R, ƒ(x) = x2.  Această funcţie asociază
fiecărui număr real x patratul lui, x2.
Funcţia ƒ : Z → Z, ƒ(x) =    x  -
1, dacă x este par
             
x + 1, dacă x este impar,
este exemplu de funcţie definită prin două
formule.
Funcţiile definite prin mai multe formule se
numesc funcţii multiforme.
OBSERVAŢIE. 
În cazul funcţiilor multiforme, fiecare formulă este valabilă pe o anumită
submulţime a lui A şi deci două formule nu pot fi
folosite pentru determinarea imaginea unuia şi aceluiaş element.
Cea mai frecventă reprezentare a unei
funcţii în matematică este printr-o formulă.  În acest caz,
elementele domeniului de definiţie şi ale domeniului valorilor nu pot fi
decât numere sau “obiecte matematice” pentru care s-au introdus reeguli de
calcul corespunzătoare.
De exemplu: y = 3x – 2. 
Când asupra domeniului de definiţie nu s-au
făcut ipoteze speciale, se consideră ca făcând parte din acesta toate
numerele reale, cărora din formula respectivă li se pune în corespondenţă
o anumită valoare.
În cazul funcţiei y = 3x – 2, domeniul de definiţie este
alcătuit din mulţimea numerelor reale.
IMAGINEA UNEI FUNCŢII.  PREIMAGINEA
UNEI FUNCŢII.
Fie ƒ : A → B.  Din definiţia
funcţiei, fiecărui element x ∈ A I se asociază prin funcţia ƒ un unic element ƒ(x) ∈ B, numit imaginea lui x prin ƒ sau
valoarea funcţiei
ƒ în x.
EXEMPLE. 
Considerăm funcţia ƒ : {1, 2, 3, 4} → {a,b,c,d} dată prin diagrama cu
săgeţi.
                   
                   
                   
                   Fie
A’ = {1, 2, 3}.
Atunci ƒ(A’) = {ƒ(1), ƒ(2), ƒ(3)} = {a,c}
       A                B
       
EXEMPLE.  În
funcţia ƒ : {-1, 0, 1, 2} → {a, b, c, d, e} definită cu ajutorul diagramei cu săgeţi.
Atunci Imƒ = {ƒ(-1), ƒ(0), ƒ(1), ƒ(2)} = {a, b, c} ⊂ B.
                   
   
                   
                       
                       
            
A                 B            
                       
                       
                       
   
EXEMPLE.  Se
consideră funcţia ƒ :
{-1, 0, 1, 2} → {1, 2,
3} definită prin diagrama cu       
săgeţi.                  
           
                   
           
 
În acest caz, ƒ-1({1}) =
{0}, deoarece ƒ(0) = 1;
ƒ-1({2}) = {-1, 1} pentru că
ƒ(-1) = ƒ(1) = 2;
ƒ-1({1,2}) = {-1, 0, 1}, deoarece
ƒ(-1) = 2, ƒ(0) = 1,
ƒ(1) =
2.
           
A                  
B
               
GRAFICUL UNEI FUNCŢII.
Se observă că Gƒ ⊆ A x B.
EXEMPLE. 
1)  Fie funcţia ƒ
: A → B, definită
prin diagrama alăturată.
Graficul funcţiei ƒ este mulţimea
Gƒ = {(1, a), (2, a), (3, b)}.
                   
                       
            A         
→  
B
Fie funcţia numerică ƒ : A → B definită prin tabelul de
valori.
x    
           -1        0        1        2                În acest caz,
graficul lui ƒ este
mulţimea
                                                                             
Gƒ = {(-1, 2), (0, 3),
(1, -2), (2, 0)}.
ƒ(x)      
  2      
 3         
-2        0
REPREZENTAREA GRAFICÃ A UNEI
FUNCŢII NUMERICE.
Dacă funcţia ƒ : A → B este o funcţie numerică, atunci la produsul cartezian A x B ⊆  R x R, unui cuplu (x, y)
din A x B i  se poate asocia în planul în care se consideră un reper
cartezian (planul cartezian) un punct M(x, y) (punctul M având coordonatele x,
y, componentele cuplului).  Cum mulţimea R x R se reprezintă geometric
prin planul cartezian, se poate deduce că:  graficul funcţiei numerice se reprezintă geometric printr-o
anumită submulţime a planului.  Această
submulţime a planului se numeşte reprezentarea
geometrică a graficului funcţiei.  Reprezentarea grafică a unei funcţii
ƒ : A → B este,
în general, o curbă, numită curba reprezentativă a funcţiei
ƒ şi notată
Cƒ = {M (x, y)
|x ∈ A, y = ƒ(x)}.  Prin abuz de limbaj, în loc de reprezentarea geometrică a unei
funcţii vom spune simplu graficul funcţiei
ƒ.
EXEMPLE. 
Funcţia ƒ : {-1, 0,
1} → R, ƒ(x) = 2x
are graficul
Gƒ = {(-1, -2), (0, 0), (1,
2)},
iar reprezentarea
grafică este formată din trei puncte: 
A(-1, -2), O(0, 0), B(1,
2).
FUNCŢII PARE.  FUNCŢII
IMPARE.
OBSERVAŢII. 
ƒ pară ⇔ Gf simetric faţă de Oy
  ƒ impară ⇔ Gf simetric faţă de O (originea
axelor).
MONOTONIA FUNCŢIILOR.
Fie ƒ : A → R, o funcţie de variabilă
reală şi I ⊆
A.
O  funcţie ƒ strict
crescătoare pe I sau strict
descrescătoare pe I se
numeşte strict monotonă pe
I.
O  funcţie ƒ crescătoare pe I sau descrescătoare pe I se numeşte
monotonă pe I.
Dacă ƒ este strict monotonă (sau
monotonă) pe A (pe tot domeniul de definiţie ) spunem simplu că funcţia
ƒ este strict
mnotonă (sau monotonă) fără a mai indica
mulţimea.
A studia monotonia unei funcţii ƒ : A → R revine la a preciza
submulţimile lui A pe care ƒ este strict crescătoare (crescătoare) şi submulţimile lui A
pe care ƒ este...



Curs valutar
Euro4,5511
Dolarul american4,2615
Lira Sterlina5,3015
Gramul de aur170,1555
Leul moldovenesc0,2176
Materii referate

Anatomie (61)

Astronomie (61)

Biologie (546)

Chimie (530)

Contabilitate (87)

Design (4)

Diverse (878)

Drept (356)

Ecologie (59)

Economie (520)

Educatie Fizica (2)

Educatie si Invatanmant (2)

Engleza (463)

Filosofie (99)

Fizica (343)

Franceza (25)

Geografie (838)

Germana (40)

Informatica (354)

Istorie (1169)

Italiana (21)

Latina (26)

Literatura (22)

Logica (6)

Management (133)

Marketing (118)

Matematica (114)

Mecanica (13)

Medicina si Farmacie (229)

Muzica (35)

Psihologie (337)

Religie (248)

Romana (2303)

Spaniola (31)

Statistica (17)

Stiinte politice (27)

Turism (64)

Nota explicativa

Informatiile oferite de acuz.net au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica. Va recomandam utilizarea acestora doar ca sursa de inspiratie sau ca resurse educationale.