| Referate | Director web | Adauga link | Contact |

Titlu referat: Curs complet de probabilitati

Nivel referat: liceu

Descriere referat:
       Capitolul 1
NOTIUNI FUNDAMENTALE ALE
TEORIEI
PROBABILITATILOR
1.1 Experienta. Proba. Eveniment
     Orice disciplina
foloseste pentru obiectul ei de studiu o serie de notiuni fundamentale. Se vor
defini astfel, notiunile de experienta, proba si eveniment.
     Prin experienta, se intelege realizarea
practica a unui complex de conditii corespunzator unui criteriu dat de
cercetare a colectivitatilor statistice omogene. Realizarea o singura data a
experientei, se numeste proba.
EXEMPLU  Se
poate considera drept experienta, aruncarea unui zar perfect construit din
punct de vedere geometric si omogen din punct de vedere fizic, caz in care,
proba este reprezentata de aruncarea o singura data a zarului.
     Prin intermediul
exemplului de mai sus se poate identifica notiunea de colectivitate statistica prin multimea
punctelor care apar pe fetele zarului.
     Prin eveniment se intelege rezultatul unei
probe. Evenimentele pot fi clasificate in trei mari categorii: evenimente
sigure, evenimente
imposibile si evenimente
intamplatoare.
     Prin eveniment sigur,
se intelege evenimentul care se produce in mod obligatoriu la efectuarea unei
probe a unei experiente. Evenimentul imposibil este acela care nu se produce la
efectuarea nici unei probe. Se numeste eveniment intamplator (aleator) un
eveniment care poate fie sa se produca, fie sa nu se produca la efectuarea unei
singure probe.
EXEMPLE
Extragerea unei bile albe dintr-o urna care contine numai bile
albe, este un eveniment sigur.
La aruncarea unui zar, evenimentul care consta in aparitia oricarei
fete de la 1 la 6 constituie evenimentul
sigur.
Aparitia unui numar de 7 puncte la o proba a aruncarii unui zar este un eveniment
imposibil.
Extragerea unei bile negre dintr-o urna care contine numai bile
albe, este un eveniment imposibil.
Aparitia fetei 1
la aruncarea unui zar este un eveniment intamplator.
     Evenimentele
intamplatoare se supun unor legitati, numite legitati statistice. In acest
sens, nu se poate prevedea daca intr-o singura aruncare a unui zar se obtine
fata 1; daca insa se
efectueaza un numar suficient de mare de aruncari se poate prevedea cu
suficienta precizie numarul de aparitii ale acestei fete.
     Evenimentele
intamplatoare pot fi compatibile si incompatibile.
     Doua evenimente se
numesc incompatibile, daca realizarea unuia exclude realizarea
celuilalt.
EXEMPLE
Evenimentele: aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar si respectiv
aparitia fetei 2 la
aruncarea unui zar, sunt incompatibile.
Evenimentele: aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar si respectiv
aparitia unei fete cu un numar impar de puncte la aruncarea unui zar, sunt
compatibile
     Evenimentele pot fi
dependente sau independente.
     Doua evenimente se
numesc independente daca realizarea unuia nu influenteaza probabilitatea
realizarii celuilalt si dependente in caz contrar.
EXEMPLE
Evenimentele: aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar si respectiv
aparitia fetei 2 la o alta
aruncare a zarului, sunt independente.
Evenimentele: obtinerea unui numar de 7 puncte la aruncarea a doua zaruri si
aparitia fetei 2 pe unul
dintre doua zaruri, stiind ca acestea au suma punctelor de pe fetele de
deasupra 7, sunt
dependente.
1.2 Operatii cu evenimente
     Notatiile folosite
sunt cele cunoscute din teoria multimilor. Multimile vor fi evenimentele
aleatoare si vor fi notate cu: A, B,
C,….
     Fie evenimentul sigur si evenimentul imposibil.
Acestea corespund multimii totale considerate si respectiv multimii vide.
DEFINITIE Se spune
ca evenimentul A implica
evenimentul B, daca
realizarea lui A, atrage
dupa sine realizarea lui B.  Notatia folosita este:
       
OBSERVATII a)
Implicatia evenimentelor este echivalenta cu incluziunea multimilor. (vezi fig.
nr. 1)   
b) Orice eveniment aleator, precum si
evenimentul imposibil, implica evenimentul sigur:
, .
DEFINITIE Se spune
ca un eveniment este contrar evenimentului A,
daca realizarea sa consta in nerealizarea lui A.  Notatia folosita este
.
OBSERVATII a)
Evenimentul contrar evenimentului A, este echivalent cu complementara lui A din teoria multimilor . (vezi fig. nr.
2)   
b) Evenimentele A si sunt contrarii,
adica, daca se realizeaza A,
atunci nu se realizeaza si reciproc.
DEFINITIE
Reuniunea (sau adunarea) evenimentelor si   este evenimentul S care consta in realizarea a cel putin
unuia dintre evenimentele sau .
Notatia este :
.
OBSERVATII a) Daca
evenimentele sunt reprezentate prin cercurile si din fig. 3 si
4, reuniunea lor este
reprezentata prin interiorul hasurat al celor doua cercuri. Prin urmare, faptul
ca un punct al evenimentului S se gaseste in regiunile hasurate constituie
evenimentul .
     In cazul prezentat
in  fig. nr. 4 
evenimentele si sunt incompatibile,
deoarece realizarea evenimentului exclude realizarea
evenimentului si invers, pe cand evenimentele din fig.
nr. 3 sunt compatibile, caci
alegerea unui punct comun celor doua cercuri atrage dupa sine realizarea atat a
evenimentului , cat si a evenimentului .
b) Daca , atunci . Geometric, acest lucru inseamna ca cercul este
interior lui .
c) Oricare ar fi evenimentul , au loc relatiile :
,
,
,
.
DEFINITIE
Intersectia (sau
produsul) evenimentelor
si   este evenimentul P care consta in realizarea simultana a
evenimentelor si .
     Notatia
este :
.
OBSERVATIE
Geometric, este reprezentat prin regiunea comuna
celor doua cercuri prezentate in fig. nr. 3.
     Prin introducerea
notiunii reuniune si intersectie, unele notiuni din teoria probabilitatilor pot
fi formulate in mod mai precis. Astfel, pentru evenimentele opuse se pot
formula in acest moment urmatoarele definiTiI:
I) evenimentele
si se numesc opuse daca au loc
relatiile:
si
II) Evenimentele
si sunt incompatibile daca:
.
     In caz contrar
(), evenimentele se numesc
compatibile.
AplicaTii
1. Fie si doua evenimente
din acelasi camp; sa se arate ca:
,
.
     Aceste doua relatii
reprezinta, in teoria multimilor, relatiile lui De
Morgan. Interpretarea va fi in limbajul evenimentelor.
Se considera mai intai prima relatie. este prin definitie
evenimentul a carui realizare inseamna realizarea a cel putin unuia din
evenimentele sau . Contrarul sau,
va fi evenimentul a carui realizare presupune nerealizarea atat a
evenimentului , cat si a evenimentului . Dar nerealizarea evenimentului inseamna
realizarea evenimentului si invers, nerealizarea
evenimentului inseamna realizarea evenimentului
. Deci, daca se realizeaza, atunci se
realizeaza si evenimentul si evenimentul , adica evenimentul . Se ajunge la concluzia ca
realizarea evenimentului implica realizarea evenimentului
, ceea ce se scrie :
   .
     Invers, daca se
realizeaza adica se realizeaza si
, atunci nu se realizeaza  nici unul din evenimentele
, , deci nu se realizeaza evenimentul
. Dar nerealizarea lui inseamna realizarea lui
.
     Rezulta ca realizarea
evenimentului implica realizarea evenimentului
, adica :
.  
     Din relatiile
si rezulta:
.
     Se considera a doua
relatie, . Evenimentul este
evenimentul a carui realizare inseamna realizarea atat a lui cat si a lui .
     Contrariul sau,
va fi deci evenimentul a carui realizare inseamna nerealizarea a
cel putin unuia din evenimentele , . Aceasta inseamna
ca daca se realizeaza, atunci se realizeaza cel
putin unul din evenimentele , , adica se
realizeaza evenimentul . Prin urmare:
.
     Invers, daca
s-a realizat, atunci cel putin unul din evenimentele , nu s-a realizat, deci nu s-a realizat
; dar aceasta inseamna ca s-a realizat . Se
poate scrie deci:
,
si rezulta ca:
.
OBSERVATIE In
general, se spune ca evenimentele si sunt
egale (not. ) daca si .
     2. Sa se arate ca relatiile
,
,
,
.
sunt echivalente.
     Se va arata ca daca
una din cele patru relatii este adevarata, atunci si celelalte trei sunt
adevarate.
     Fie este adevarata. Aceasta inseamna ca daca se
realizeaza, atunci se realizeaza si .
     Relatia arata ca daca nu s-a realizat , atunci nu s-a
realizat nici , ceea ce este adevarat; daca nu ar fi asa,
ar fi contrazisa relatia .
     Pentru a arata ca
(daca ), este suficient sa se arate ca
, deoarece relatia este evidenta, ea insemnand ca
daca se realizeaza , atunci se realizeaza unul din
evenimentele , .
     Pentru a demonstra
relatia trebuie aratat ca de cate ori se
realizeaza, se realizeaza si .
     Daca s-a realizat, atunci sau s-a realizat (si
relatia este demonstrata) sau s-a realizat si atunci,
conform ipotezei , s-a realizat si .
     Pentru a arata ca
(in aceeasi ipoteza), se observa ca daca se
realizeaza , atunci conform ipotezei se realizeaza si
, deci se realizeaza. Se poate scrie .
     Relatia este evidenta, ea insemnand ca daca se realizeaza si , atunci se realizeaza
(relatia este adevarata fara ipoteza ). Deci .
     Prin rationamente
asemanatoare, se arata ca daca se va lua ca ipoteza alta din cele patru relatii
din enunt, atunci prima relatie va rezulta drept o concluzie.
     3. Relatiile :
,
,
,
sunt echivalente.
...



Curs valutar
Euro4,5511
Dolarul american4,2615
Lira Sterlina5,3015
Gramul de aur170,1555
Leul moldovenesc0,2176
Materii referate

Anatomie (61)

Astronomie (61)

Biologie (546)

Chimie (530)

Contabilitate (87)

Design (4)

Diverse (878)

Drept (356)

Ecologie (59)

Economie (520)

Educatie Fizica (2)

Educatie si Invatanmant (2)

Engleza (463)

Filosofie (99)

Fizica (343)

Franceza (25)

Geografie (838)

Germana (40)

Informatica (354)

Istorie (1169)

Italiana (21)

Latina (26)

Literatura (22)

Logica (6)

Management (133)

Marketing (118)

Matematica (114)

Mecanica (13)

Medicina si Farmacie (229)

Muzica (35)

Psihologie (337)

Religie (248)

Romana (2303)

Spaniola (31)

Statistica (17)

Stiinte politice (27)

Turism (64)

Nota explicativa

Informatiile oferite de acuz.net au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica. Va recomandam utilizarea acestora doar ca sursa de inspiratie sau ca resurse educationale.