| Referate | Director web | Adauga link | Contact |

Titlu referat: Chestiuni elementare despre siruri

Nivel referat: liceu

Descriere referat:
Chestiuni elementare
despre şiruri
       
       Prezenta lucrare îşi propune prezentarea unor aspecte elementare
privind şirurile de numere reale.
       În mod obişnuit, prin şir se înţelege o infinitate de numere,
distincte sau, nu, scrise unul după altul. Exemplu, şirul numerelor naturale:
1, 2, 3, 4, … .
       Definiţie.  Numim şir orice
funcţie f : N→R, f(n) =
an.
Notăm (an)n≥0.
Exemple de şiruri:
1) 1, 1, 1, 1, …, 1, …
2) 1, -1, 2, -2, …,
n, -n, …
3) 10, 102, 103, 104, …, 10n, …
4) 1, , ,
, …, , …
5) 1, -, , -, …, , …
Definiţie. Şirul
(an)n≥0 este
mărginit dacă există M > 0 astfel încât
|an|≤ M,
pentru orice n∈N.
Exemplu: şirul “10, 102, 103, 104, …, 10n, …” este mărginit, deoarece
termenii săi sunt mai mari ca 0 şi mai mici ca 1.
Definiţie. Şirul
(an)n≥0 este
monoton crescător dacă an ≤ an+1. Şirul (an)n≥0 este monoton descrescător dacă
an ≥ an+1.
Exemple: şirul “1, ,
, , …, , …” este
crescător; şirul “1, , , , …, , …” este descrescător.
Noţiunea de
convergenţă
Dacă observăm că termenii şirului
(an)n≥0 se
apropie din ce în ce mai mult de numărul a
(se “îngrămădesc”), pe măsură ce n creşte,
vom avea o viziune intuitivă asupra convergenţei şirului. Vom spune că
an→a (an tinde,
converge către a), a fiind limita şirului. Vom nota .
Mai exact:
Definiţie. Şirul
(an)n≥0 este
convergent către a sau are limita a dacă orice vecinătate a lui a (interval deschis care-l conţine pe
a)
conţine toţi termenii şirului, exceptând (eventual) un număr finit de
termeni.
Sau:
Definiţie. Şirul
(an)n≥0 este
convergent către a (are
limita a) dacă ∀ε > 0, ∃nε > 0 (un rang depinzând de ε), astfel încât ∀n ≥ nε, să avem |an-a|
< ε.
Observaţie.
Limita unui şir, dacă există, este unică.
Teoremă. Orice şir
monoton şi mărginit este convergent.
Exemplu. Şirul an = se constată
uşor că este descrescător: 1 > > > … >
> … şi
mărginit inferior de 1; deci = 1.
Un şir important: an = ; limita sa se
notează cu e ≅
2,71828…
Proprietăţi ale şirurilor convergente:
limita modulului este egală cu modulul
limitei;
limita sumei (diferenţei, produsului, câtului – dacă există) este egală cu suma
(diferenţa, produsul, câtul) limitelor;
constanta iese în faţa limitei;
limita radicalului este egală cu radicalul limitei;
limita unei puteri se distribuie bazei
şi exponentului, adică lim(xy) = (limx)limy;
limita logaritmului este egală cu logaritmul limitei;
etc.
Operaţii cu
±∞
∞+∞ =
∞; (-∞)+(-∞) = (-∞); a±∞ = ±∞; la înmulţirea
(împărţirea) infiniţilor se aplică regula semnelor; = 0;
= ∞;
a∞ = ; ∞a = ; 0∞ = 0; ∞∞
= ∞; loga0 = -∞; loga∞ =
∞.
Operaţii fără sens: ∞-∞; 0⋅∞; ;
; 1∞;
00;∞0.
       Aspectele prezentate mai sus, aprofundate
pe bază de exemple, vor constitui baza calculului limitelor de şiruri.
Alina Alexandra Oprea
Colegiul Naţional
„Elena Cuza”
Craiova



Curs valutar
Euro4,5511
Dolarul american4,2615
Lira Sterlina5,3015
Gramul de aur170,1555
Leul moldovenesc0,2176
Materii referate

Anatomie (61)

Astronomie (61)

Biologie (546)

Chimie (530)

Contabilitate (87)

Design (4)

Diverse (878)

Drept (356)

Ecologie (59)

Economie (520)

Educatie Fizica (2)

Educatie si Invatanmant (2)

Engleza (463)

Filosofie (99)

Fizica (343)

Franceza (25)

Geografie (838)

Germana (40)

Informatica (354)

Istorie (1169)

Italiana (21)

Latina (26)

Literatura (22)

Logica (6)

Management (133)

Marketing (118)

Matematica (114)

Mecanica (13)

Medicina si Farmacie (229)

Muzica (35)

Psihologie (337)

Religie (248)

Romana (2303)

Spaniola (31)

Statistica (17)

Stiinte politice (27)

Turism (64)

Nota explicativa

Informatiile oferite de acuz.net au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica. Va recomandam utilizarea acestora doar ca sursa de inspiratie sau ca resurse educationale.